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对称矩阵一定可逆吗

来源:龙门尚学高中一对一辅导组 时间:2022-02-24

不一定,最简单的就是0矩阵,对称不可逆,或者就a11=1,其余元都是0的矩阵对称不可逆。实对称矩阵是正交矩阵,不是所有的实对称阵都是正交矩阵。这里的P是是对称矩阵,且刚好P的逆等于P的转置,所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。

对称矩阵一定可逆吗

对称矩阵是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。

在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换,两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

1855年,埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来,克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质,泰伯引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

为什么实对称矩阵可以对角化

这涉及到一系列的定理,不是在这里可以详细解答的,告诉你这些定理,并注明在同济《线性代数》第三版中的位置,你可以详细阅读,其它版本的《线性代数》可以到相应地方去找.

定理1:n阶矩阵A能与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.(p146定理4)

定理2:实对称阵A的特征值都是实数.(p147定理5)

由这个定理可以知道,实对称阵一定存在实特征向量.

定理3:实对称阵的不同特征值对应的特征向量一定是互相正交的.(p147定理6)

注:正交的向量组一定是线性无关的向量组.

定理4:实对称阵A的r重特征值λ一定有r个线性无关的特征向量.(p148定理7)

由这个定理可以知道,n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量.

结合定理1与定理4,就可以得到你需要的结论.

(本文由龙门尚学取水楼校区高中数学一对一辅导庞老师编辑整理)

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