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幂等矩阵的特征值

来源:龙门尚学高中一对一辅导组 时间:2022-02-24

0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0,1。若A为方阵,且A²=A,则A称为幂等矩阵。例如,某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上,由Jordan标准型易知,所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

幂等矩阵的主要性质:

幂等矩阵的特征值只可能是0,1;

幂等矩阵可对角化;

幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A);

可逆的幂等矩阵为E;

方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;

幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;

幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);

A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求,可以给出幂等矩阵的运算:

设A₁,A₂都是幂等矩阵,则(A₁+A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂=A₂·A₁=0,且有:R(A₁+A₂)=R(A₁)⊕R(A₂);N(A₁+A₂)=N(A₁)∩N(A₂);

设A₁,A₂都是幂等矩阵,则(A₁-A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂=A₂·A₁=A₂,且有:R(A₁-A₂)=R(A₁)∩N(A₂);N(A₁-A₂)=N(A₁)⊕R(A₂);

设A₁,A₂都是幂等矩阵,若A₁·A₂=A₂·A₁,则A₁·A₂为幂等矩阵,且有:R(A₁·A₂)=R(A₁)∩R(A₂);N(A₁·A₂)=N(A₁)+N(A₂)。

(本文由龙门尚学青山校区高中数学一对一辅导尹老师编辑整理)

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