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两个正交矩阵的乘积是正交矩阵吗

来源:龙门尚学高中一对一辅导组 时间:2022-02-24

两个n阶正交矩阵的乘积是正交矩阵。如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是属于正规矩阵。正交矩阵的最基本置换是换位,通过交换单位矩阵的两行得到。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵(即该正交矩阵中所有元都是实数)可以看做是一种特殊的酉矩阵,但也存在一种复正交矩阵,这种复正交矩阵不是酉矩阵。

在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为+1,则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

A的列向量组也是正交单位向量组。

正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

(本文由龙门尚学光谷校区高中数学一对一辅导乐老师编辑整理)

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