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伴随矩阵和原矩阵的秩的关系

来源:龙门尚学 时间:2022-02-24

R(A)=n,即A可逆,$A^{*}A=E$,秩为n。R(A)=n-1时,则至少有一个n-1代数余子式不为0,即秩≥1。又由线性方程组理论矩阵A和其伴随矩阵秩的和≤n,可得秩为1。R(A)<n-1时,n-1代数余子式全为0,即伴随矩阵为零矩阵。

行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说,在计算行列式时,行和列的地位是对等的。

并且注意到,由上述分析,交换矢量的顺序,面积的值取负号,这也就是为什么行列式中,交换列向量或者行向量一次,就要取一次负号的原因。

另外,行列式的其他计算性质,都一一反映在面积映射的线性性之中。由此我们可见,行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下,N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。

设A是n阶矩阵,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数,称为行满秩若矩阵秩等于列数,称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

(本文由龙门尚学钟家村校区高中数学一对一辅导厍老师编辑整理)

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